Quando vc integra, o Bling não puxa nada automaticamente da Loja Integrada (exceto pedido, se configurar).
O mesmo acontece inverso, o Bling não envia nada automaticamente para o Loja integrada (exceto atualização de estoque ou situação do pedido quando emitido nota fiscal, se configurar)
Aqui, eu sempre cadastro produto na Loja Integrada e faço o importe deste cadastro via comando importar no Bling.
Como importar: https://ajuda.bling.com.br/hc/pt-br/articles/360036878293-Como-importar-produtos-da-loja-virtual